Era tard, tothom estava cansat, i el moment de màxim esplendor d'aquella festa feia hores que havia quedat enrera. Va ser en aquells instants de decepció, que un foraster va entrar per la porta i va proposar una juguesca.
Sense conèixer absolutament ningú d'aquella sala, va afirmar que sabia que hi havia com a mínim dues persones que havien nascut el mateix dia de l'any. Un convidat, culte i instruit, el va contradir dient que si l'any tenia 365 dies i només eren 28 persones, la probabilitat del que deia era molt baixa.
Quin dels dos tenia raó?
_____________________________________________________________________________________
Suposem que només tenim una parella, llavors pot passar dues coses
Sense conèixer absolutament ningú d'aquella sala, va afirmar que sabia que hi havia com a mínim dues persones que havien nascut el mateix dia de l'any. Un convidat, culte i instruit, el va contradir dient que si l'any tenia 365 dies i només eren 28 persones, la probabilitat del que deia era molt baixa.
Quin dels dos tenia raó?
_____________________________________________________________________________________
Suposem que només tenim una parella, llavors pot passar dues coses
- que hàgin nascut al mateix dia (probabilitat = 1/365, suposant una distribució uniforme)
- o que hàgin nascut en dies diferents (p=364/365)
Si tenim n parelles independents en comptes d'una sola,
- la probabilitat que en cap de les parelles, les dues persones hàgin nascut el mateix dia és (364/365)^n.
- i la probabilitat de que en una o més parelles, els dos membres tingui la mateixa data d'aniversari és 1-(364/365)^n.
La pregunta és doncs, quantes parelles independents trobem en un grup de M persones? És a dir, quants possibles paquets de dos diferents podem fer?
- Trio el primer membre de la parella (M possibilitats).
- Trio el segon membre dels M-1 restants (ara portem M(M-1) possibilitats).
- L'ordre en que els he triat és irrellevant, i per tant hem de dividir per dos per evitar doble comptatge. És a dir que en total hi ha M(M-1)/2 possibilitats.
Segons això, en un grup de M persones la probabilitat de que n'hi hagi almenys dues que hagin nascut el mateix dia és "1-(364/365)^M(M-1)/2"
I per tant en un grup de
que, amazing no?
I per tant en un grup de
- 10 personones la probabilitat és 12%
- 15 " " 25%
- 20 " " 41%
- 25 " " 56%
- 30 " " 70%
1 comentari:
És clar que la probabilitat per a M=366 persones (367 si és cas que tenim en compte anys bixests :P) hauria de ser 1. Però, aquest no és el cas!
En efecte, és pot veure fàcilment que la probabilitat només tendeix a 1 quan M tendeix a infinit (i mai és exactament 1).
Com es pot explicar això??
Publica un comentari a l'entrada